網球賠率計算_Part1

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段落大綱介紹

  • 網球最小到最大單位
  • Games事件機率推導
    • Games - Love
    • Games - 15
    • Games - 30
    • Winning from 40 – 40
    • 贏得一局(Game)的機率
  • Sets機率事件推導
    • 6:0
    • 6:1
    • 6:2
    • 6:3
    • 6:4
    • 7:5
    • 7:6
    • 搶七計算
    • 贏得一盤(Set)的機率
  • Match機率事件推導
    • 打五盤(Bo5)機率事件推導
    • 打三盤(Bo3)機率事件推導
  • 推導玩法算式

 

本篇會針對各事件機率推導介紹,下一篇會針對各種玩法推導機率

一. 网球最小到最大单位

由小到大,依序排列

  • 球 - Point
  • 局 - Games
    • Games - Love
    • Games - 15
    • Games - 30
    • Games - 40
    • 40 - 40
    • Deuce
  • 盤 - Sets
  • 整場 - Match

二. Games事件机率推导

2.1 Games - Love

Pr(Games - Love) = p^4

  • p = 球員得一球的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一分的機率為0.8,則發生Games - Love 的事件機率為 = 0.410

2.2 Games - 15

Pr(Games - 15) = p * c(4,1)* p^3 * (1 - p) = 4p^4(1 - p)

  • p = 球員得一球的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一分的機率為0.8,則發生Games - 15 的事件機率為 = 0.328

2.3 Games - 30

Pr(Games - 30) = p * c(5,2)* p^3 * (1 - p)^2 = 10p^4(1 - p)^2

  • p = 球員得一球的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一分的機率為0.8,則發生Games - 15 的事件機率為 = 0.164

2.4 Winning from 40 – 40

Pr( 40 – 40) =  c(6,3)* p^3 * (1 - p)^3 = 20p^3(1 - p)^3

  • Pr( Winning from 40 – 40) =  Pr( 40 – 40)* d = 20p^3(1 - p)^3*d
  • *Winning from 40 – 40即為Win:40的比數,也就是說要先發生Deuce(平局)才會發生此事件,因此要先計算Pr( 40 – 40)的事件機率,再計算Deuce贏的事件機率

Deuce後可能會發生的情況如下:

因此機率d為

  • d = p^2 + [p * (1 - p) + (1 - p) * p] * d
  • d = p^2 + 2 * p(1 - p) * d
  • d = p^2 / (1 - 2 * p( 1-p ) )

Pr( Winning from 40 – 40) =  20p^5(1 - p)^3 / ((1 - 2 * p( 1-p ) ))

  • p = 球員得一球的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一分的機率為0.8,則發生Winning from 40 – 40的事件機率為 = 0.077

 

2.5 赢得一局(Game)的機率

Pr( Game ) = p^4 + 4p^4(1 - p) + 10p^4(1 - p)^2 + 20p^5(1 - p)^3 / ((1 - 2 * p( 1-p ) ))

  • p = 球員得一球的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一分的機率為0.8,則贏得一局的事件機率為 = 0.978

三. Sets机率事件推导

3.1 6:0

Pr(6:0)= w ^ 6

  • w = 球員得一局的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一局的機率為0.8,則6:0贏盤的事件機率為 = 0.262

3.2 6:1

Pr(6:1)= w * c(6,1) * w^5 * (1 - w) = 6 * w^6 * ( 1-w )

  • w = 球員得一局的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一局的機率為0.8,則6:1贏盤的事件機率為 = 0.315

3.3 6:2

Pr(6:2)= w^2 * c(6,2) *  w^4 * (1 - w)^2 + w * ( 1-w ) * c(6,1) * w^5 * ( 1-w ) = 21 * w^6 * ( 1-w )^2

  • w = 球員得一局的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一局的機率為0.8,則6:2贏盤的事件機率為 = 0.220

3.4 6:3

Pr(6:3)= w^3 * c(6,3) * w^3 * (1 - w)^3+ w * c(2,1) * w * ( 1-w ) * c(6,2) * w^4 * ( 1-w )^2 + w * ( 1-w )^2 * c(6,1) * w^5 * (1-w) = 56w^6*( 1-w )^3

  • w = 球員得一局的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一局的機率為0.8,則6:3贏盤的事件機率為 = 0.117

3.5 6:4

Pr(6:4)= [w^4 * c(6,4) * w^2 * ( 1-w )^4] + [w * c(3,1) * w^2 * ( 1-w ) * c(6,3) * w^3 * (1-w)^3 ] + [w * c(3,2) * w * ( 1-w )^2 * c(6,2) * w^4 * (1-w)^2 ] + [w * ( 1-w )^3 * c(6,1) * w^5 * ( 1-w )]

                 = 126w^6 * ( 1-w )^4

  • w = 球員得一局的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一局的機率為0.8,則6:4贏盤的事件機率為 = 0.053

3.6 7:5

7:5唯有透過5:5後連續贏得兩局勝利才會發生,因此先推估Pr(5:5)

Pr(5:5)= c(10,5) * w^5 * ( 1-w )^5

Pr(7 : 5)= Pr(5:5)* w^2 = 252w^7 * ( 1-w )^5

  • w = 球員得一局的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一局的機率為0.8,則7 : 5贏盤的事件機率為 = 0.033

3.7 7:6

7:6唯有透過5:5 => 6:6才會發生,因此先推估Pr(5:5)與 Pr(6:6)

Pr(6:6)= Pr(5:5)* c(2,1) * w * (1-w) = 504w^6 * ( 1-w )^6

Pr(7:6)= Pr(6:6)* T ,T為搶七勝率,下面介紹

  • w = 球員得一局的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一局的機率為0.8,則7:6贏盤的事件機率為 = 0.315

3.8 抢七计算

T = 搶七會發生的所有事件機率總和,以下列舉所有事件

Pr(Score 7:0)= p^7

Pr(Score 7:1)= p^7 + p * c(7,1) * p^6 * ( 1-p )

Pr(Score 7:2)= p^7 + p * c(8,2) * p^5 * ( 1-p )^2

Pr(Score 7:3)= p^7 + p * c(9,3) * p^4 * ( 1-p )^3

Pr(Score 7:4)= p^7 + p * c(10,4) * p^3 * ( 1-p )^4

Pr(Score 7:5)= p^7 + p * c(11,5) * p^2 * ( 1-p )^5

Pr(Score N:N + 2)= p^7 + Pr(6:6)*d = p^7 + c(12,6) * p^6 * ( 1-p )^6 * d,d為上述的Deuce獲勝的機率

總和為 Pr(T Win)= p^7[ 1+ 7 * ( 1-p ) + 28 * ( 1-p )^2 + 84 * ( 1-p )^3 + 210 * ( 1-p )^4 + 462 * ( 1-p )^5] + 924 * p^6 * ( 1-p )^6 * d

3.9 赢得一盘(Set)的机率

將一盤所發生的事件都推導出來後,就可以計算出贏得一盤的機率

Pr( Set ) = Pr(6:0)+ Pr(6:1)+ Pr(6:2)+ Pr(6:3)+ Pr(6:4)+ Pr(7:5)+ Pr(7:6)

= w ^6 * [1 + 6 * ( 1-w ) + 21 * ( 1-w )^2 + 56 * ( 1-w )^3 + 126 * ( 1-w )^4  + 252 * ( 1-w )^5 + 504 * ( 1-w )^6 * Pr(T Win)]

  • w = 球員得一球的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一局的機率為0.8,則贏得一盤的事件機率為 = 0.997

四. Match机率事件推导

4.1 打五盘(Bo5)机率事件推导

Pr(Match)= s^3 + s * c(3,1) * s^2 * ( 1-s ) + s * c(4,2) * s^2 * ( 1-s )^2

                    = s^3 * [1 + 3 * ( 1-s ) + 6 * ( 1-s )^2]

  • s = 球員得一盤的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一盤的機率為0.8,則贏得五盤賽事的事件機率為 = 0.9421
     

4.2 打三盘(Bo3)机率事件推导

Pr(Match)= s^2 + s * c(2,1) * s * ( 1-s )

                    = s^2 * ( 3-2s )

  • s = 球員得一盤的機率
  • 舉例來說 : Roger Federer得一盤的機率為0.8,則贏得三盤賽事的事件機率為 = 0.896

下一篇,來介紹如何推導各式網球玩法勝率