Data is anything but not everything

本篇會針對各事件機率推導介紹，下一篇會針對各種玩法推導機率

一. 网球最小到最大单位

由小到大，依序排列

• 球 - Point
• 局 - Games
  • Games - Love
  • Games - 15
  • Games - 30
  • Games - 40
  • 40 - 40
  • Deuce
• 盤 - Sets
• 整場 - Match

二. Games事件机率推导

2.1 Games - Love

Pr（Games - Love） = p^4

• p = 球員得一球的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一分的機率為0.8，則發生Games - Love 的事件機率為 = 0.410

2.2 Games - 15

Pr（Games - 15） = p * c（4,1）* p^3 * (1 - p) = 4p^4(1 - p)

• p = 球員得一球的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一分的機率為0.8，則發生Games - 15 的事件機率為 = 0.328

2.3 Games - 30

Pr（Games - 30） = p * c（5,2）* p^3 * (1 - p)^2 = 10p^4(1 - p)^2

• p = 球員得一球的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一分的機率為0.8，則發生Games - 15 的事件機率為 = 0.164

2.4 Winning from 40 – 40

Pr（ 40 – 40） =  c（6,3）* p^3 * (1 - p)^3 = 20p^3(1 - p)^3

• Pr（ Winning from 40 – 40） =  Pr（ 40 – 40）* d = 20p^3(1 - p)^3*d
• *Winning from 40 – 40即為Win：40的比數，也就是說要先發生Deuce（平局）才會發生此事件，因此要先計算Pr（ 40 – 40）的事件機率，再計算Deuce贏的事件機率

Deuce後可能會發生的情況如下：

因此機率d為

• d = p^2 + [p * (1 - p) + (1 - p) * p] * d
• d = p^2 + 2 * p(1 - p) * d
• d = p^2 / (1 - 2 * p( 1-p ) )

Pr（ Winning from 40 – 40） =  20p^5(1 - p)^3 / （(1 - 2 * p( 1-p ) )）

• p = 球員得一球的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一分的機率為0.8，則發生Winning from 40 – 40的事件機率為 = 0.077

 

2.5 赢得一局（Game）的機率

Pr( Game ) = p^4 + 4p^4(1 - p) + 10p^4(1 - p)^2 + 20p^5(1 - p)^3 / （(1 - 2 * p( 1-p ) )）

• p = 球員得一球的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一分的機率為0.8，則贏得一局的事件機率為 = 0.978

三. Sets机率事件推导

3.1 6：0

Pr（6：0）= w ^ 6

• w = 球員得一局的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一局的機率為0.8，則6：0贏盤的事件機率為 = 0.262

3.2 6：1

Pr（6：1）= w * c(6,1) * w^5 * (1 - w) = 6 * w^6 * ( 1-w )

• w = 球員得一局的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一局的機率為0.8，則6：1贏盤的事件機率為 = 0.315

3.3 6：2

Pr（6：2）= w^2 * c(6,2) *  w^4 * (1 - w)^2 + w * ( 1-w ) * c(6,1) * w^5 * ( 1-w ) = 21 * w^6 * ( 1-w )^2

• w = 球員得一局的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一局的機率為0.8，則6：2贏盤的事件機率為 = 0.220

3.4 6：3

Pr（6：3）= w^3 * c(6,3) * w^3 * (1 - w)^3+ w * c(2,1) * w * ( 1-w ) * c(6,2) * w^4 * ( 1-w )^2 + w * ( 1-w )^2 * c(6,1) * w^5 * (1-w) = 56w^6*( 1-w )^3

• w = 球員得一局的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一局的機率為0.8，則6：3贏盤的事件機率為 = 0.117

3.5 6：4

Pr（6：4）= [w^4 * c(6,4) * w^2 * ( 1-w )^4] + [w * c(3,1) * w^2 * ( 1-w ) * c(6,3) * w^3 * (1-w)^3 ] + [w * c(3,2) * w * ( 1-w )^2 * c(6,2) * w^4 * (1-w)^2 ] + [w * ( 1-w )^3 * c(6,1) * w^5 * ( 1-w )]

                 = 126w^6 * ( 1-w )^4

• w = 球員得一局的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一局的機率為0.8，則6：4贏盤的事件機率為 = 0.053

3.6 7：5

7：5唯有透過5：5後連續贏得兩局勝利才會發生，因此先推估Pr（5：5）

Pr（5：5）= c(10,5) * w^5 * ( 1-w )^5

Pr（7 : 5）= Pr（5：5）* w^2 = 252w^7 * ( 1-w )^5

• w = 球員得一局的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一局的機率為0.8，則7 : 5贏盤的事件機率為 = 0.033

3.7 7：6

7：6唯有透過5：5 => 6：6才會發生，因此先推估Pr（5：5）與 Pr（6：6）

Pr（6：6）= Pr（5：5）* c(2,1) * w * (1-w) = 504w^6 * ( 1-w )^6

Pr（7：6）= Pr（6：6）* T ，T為搶七勝率，下面介紹

• w = 球員得一局的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一局的機率為0.8，則7：6贏盤的事件機率為 = 0.315

3.8 抢七计算

T = 搶七會發生的所有事件機率總和，以下列舉所有事件

Pr（Score 7：0）= p^7

Pr（Score 7：1）= p^7 + p * c(7,1) * p^6 * ( 1-p )

Pr（Score 7：2）= p^7 + p * c(8,2) * p^5 * ( 1-p )^2

Pr（Score 7：3）= p^7 + p * c(9,3) * p^4 * ( 1-p )^3

Pr（Score 7：4）= p^7 + p * c(10,4) * p^3 * ( 1-p )^4

Pr（Score 7：5）= p^7 + p * c(11,5) * p^2 * ( 1-p )^5

Pr（Score N：N + 2）= p^7 + Pr（6:6）*d = p^7 + c(12,6) * p^6 * ( 1-p )^6 * d，d為上述的Deuce獲勝的機率

總和為 Pr（T Win）= p^7[ 1+ 7 * ( 1-p ) + 28 * ( 1-p )^2 + 84 * ( 1-p )^3 + 210 * ( 1-p )^4 + 462 * ( 1-p )^5] + 924 * p^6 * ( 1-p )^6 * d

3.9 赢得一盘（Set）的机率

將一盤所發生的事件都推導出來後，就可以計算出贏得一盤的機率

Pr( Set ) = Pr（6：0）+ Pr（6：1）+ Pr（6：2）+ Pr（6：3）+ Pr（6：4）+ Pr（7：5）+ Pr（7：6）

= w ^6 * [1 + 6 * ( 1-w ) + 21 * ( 1-w )^2 + 56 * ( 1-w )^3 + 126 * ( 1-w )^4  + 252 * ( 1-w )^5 + 504 * ( 1-w )^6 * Pr（T Win）]

• w = 球員得一球的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一局的機率為0.8，則贏得一盤的事件機率為 = 0.997

四. Match机率事件推导

4.1 打五盘（Bo5）机率事件推导

Pr（Match）= s^3 + s * c(3,1) * s^2 * ( 1-s ) + s * c(4,2) * s^2 * ( 1-s )^2

                    = s^3 * [1 + 3 * ( 1-s ) + 6 * ( 1-s )^2]

• s = 球員得一盤的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一盤的機率為0.8，則贏得五盤賽事的事件機率為 = 0.9421
   

4.2 打三盘（Bo3）机率事件推导

Pr（Match）= s^2 + s * c(2,1) * s * ( 1-s )

                    = s^2 * ( 3-2s )

• s = 球員得一盤的機率
• 舉例來說 ： Roger Federer得一盤的機率為0.8，則贏得三盤賽事的事件機率為 = 0.896

下一篇，來介紹如何推導各式網球玩法勝率